МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Інструкція до лабораторної роботи № 5 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" Затверджено на засіданні кафедри «Захист інформації» Протокол № ___ від __________. Львів – 2007 Метод Ньютона для розв’язування систем нелінійних рівнянь: Інструкція до лабораторної роботи №5 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів спеціальності 6.1601 "Інформаційна безпека" / Укл.: Л.В.Мороз, З.М.Стрілецький, В.М.Іванюк - Львів: НУЛП, 2007.- 11 с. Укладачі: Леонід Васильович Мороз, к.т.н., доц. Зеновій Михайлович Стрілецький, к.т.н., доц. Іванюк Віталій Миколайович, асистент. Відповідальний за випуск: І.Я. Тишик, ст.в. Рецензент: В.В.Хома, д.т.н., проф.. В.М.Максимович, к.т.н., доц. Мета роботи - ознайомлення з найпоширенішим ітераційним методом розв’язування систем нелінійних рівнянь – методом Ньютона. Вступ Систему нелінійних рівнянь у загальному випадку можна зобразити у вигляді  EMBED Equation.3 
 Тобто як  EMBED Equation.3 
 функцій  EMBED Equation.3 
 від  EMBED Equation.3 
 невідомих  EMBED Equation.3 
, причому функції  EMBED Equation.3 
 не обов’язково лінійно залежить від змінних  EMBED Equation.3 
. Позначимо вектор змінних через  EMBED Equation.3 
, а вектор функції через  EMBED Equation.3 
. Тоді систему (1) можна записати у формі.  EMBED Equation.3 
 Завдання полягає в тому, щоб знайти розв’язок цієї системи. Слід сказати, що на даний час не існує математичної теорії, яка дозволяла б у загальному вигляді розв’язати питання про існування та число розв’язків системи (2). Їх може не бути зовсім, може бути один, декілька або нескінчена множина [3]. Крім того, важливою особливістю системи нелінійних рівнянь є те, що для їх розв’язків не можна використати прямі методи, зокрема, метод послідовного виключення невідомих. Усі розробленні методи є ітераційними, а найефективнішим і широко вживаним є метод Ньютона. 1. Стандартний метод Ньютона Метод Ньютона базується на лінеаризації задачі і заміні розв'язування нелінійної системи (2) на послідовність розв'язувань лінійних систем (найчастіше прямими методами). Будемо вважати, що система рівнянь (2) має розв'язок; позначимо його через вектор  EMBED Equation.3 
 і розкладемо кожну функцію в ряд Тейлора в околі розв'язку  EMBED Equation.3 
 де  EMBED Equation.3 
 - члени другого і вищих порядків. Вважаючи, що  EMBED Equation.3 
 дуже близьке до  EMBED Equation.3 
, знехтуємо членами вищих порядків і запишемо систему рівнянь в лінеаризованій формі:  EMBED Equation.3 
 (3) або в іншому вигляді  EMBED Equation.3 
 (4) де  EMBED Equation.3 
 – матриця Якобі (якобіан) системи (1) Враховуючи, що  EMBED Equation.3 
 є розв'язком системи, згідно з (2) можемо записати:  EMBED Equation.3 
 Звідси випливає, що і праву частину (4) також можна прирівняти до нуля:  EMBED Equation.3 
 (5) Розв'язком системи (5) є нове значення вектора X, яке не точно дорівнює значенню вектора  EMBED Equation.3 
 (оскільки знехтували членами другого і вищих порядків). Використовуючи верхні індекси для позначення послідовності ітерацій, можна записати  EMBED Equation.3 
 (6) Звідси  EMBED Equation.3 
 (7) де  EMBED Equation.3 
 - обернена матриця Якобі;  EMBED Equation.3 
. У достатньо широкому околі розв'язку  EMBED Equation.3 
 ітераційний процес (7) збігається, якщо  EMBED Equation.3 
. Ітераційний процес закінчується при виконанні умови  EMBED Equation.3 
 (8) де Σ - задана гранична похибка уточнень коренів системи (1). Таким чином, алгоритм стандартного методу Ньютона можна розбити, на декілька кроків. Крок 1. Вибір вектора початкових уточнень  EMB...